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方法承载思维+提炼启迪智慧——一道几何题多种

来源:未知作者:admin发布时间:2019-08-28 12:19

 

  方法承载思维 提炼启迪智慧———一道几何题多种解法的总结与反思范志文( 浙江省宁波市滨海国际合作学校,315830)一道数学题往往有多种解法,不同解法承载了数学思维的多种角度,日常教学中适时适当地引导学生探究“一题多解”,能促使学生形成多样化的解题意识. 笔者在一次作业布置中,一道几何题引起了学生的兴趣,他们积极研究,最终呈现了多种不同的解法. 这些解法体现了学生的主动参与及求异、求新思维的发展,笔者不禁为学生多样化的思维赞叹. 下面就学生不同的解法进行总结,并谈几点思考.一、题目如图1,正方形 ABCD 内接于 ⊙O,点 P 在劣弧 AB 上,连结 DP,DP 交 AC 于点...

  方法承载思维 提炼启迪智慧一道几何题多种解法的总结与反思范志文( 浙江省宁波市滨海国际合作学校,315830)一道数学题往往有多种解法,不同解法承载了数学思维的多种角度,日常教学中适时适当地引导学生探究“一题多解”,能促使学生形成多样化的解题意识. 笔者在一次作业布置中,一道几何题引起了学生的兴趣,他们积极研究,最终呈现了多种不同的解法. 这些解法体现了学生的主动参与及求异、求新思维的发展,笔者不禁为学生多样化的思维赞叹. 下面就学生不同的解法进行总结,并谈几点思考.一、题目如图1,正方形 ABCD 内接于 ⊙O,点 P 在劣弧 AB 上,连结 DP,DP 交 AC 于点 Q,若 QP= QO,求 QC ∶ QA 的值.%A AD COQPB图 1二、几种经典解法解法 1 设 ⊙O 的的半径为 r,QO = m,则 QP = m,QC = r + m,QA = r - m.在 ⊙O 中,根据相交弦定理,得QAQC = QPQD,即( r + m) ( r - m) = mQD,得 QD =r 2 - m 2m.连结 DO,由勾股定理,得QD 2 = DO 2 + QO 2 ,即r 2 - m 2( )m2= r 2 + m 2 ,解得 m =槡33r,QCQA=r + mr - m=槡3 + 1槡3 - 1= 槡 3 + 2.提炼 由相交弦定理和勾股定理建立两个方程,解得 QD =r 2 - m 2m,再将求出的 QC、QA 的长相比得到结果. 这种方法是用代数的思想解决图形问题,容易理解掌握,但运算的要求较高,涉及多元高次方程的变形,过程略显复杂.解法 2 如图 2,连结 DB、BP,QB,则 QOB = QPB = 90.又 QO = QP,QB = QB, QOB ≌ QPB,PB = BO =12BD, BDP = 30.又 OC = OA = OD = 槡 3QD,QCQA=槡3QO + QO槡3QO - QO= 槡 3 + 2.提炼 由 QP = QO 可构造全等三角形.利用全等,发现直角三角形中直角边等于斜边的一半,从而推出 BDP = 30,结合含30角的直角三角形中两条直角边的关系,可顺利解决问题. 这种方法利用了全等和特殊直角三角形两个基本知识点,较为巧妙. 7 3 第 2 期 初中数学教与学ChaoXing %A AD COQPB图 2解法 3 如图 3,连结 OD、OP,则QOD = 90.取 QD 的中点 E,连结 OE,则 OE =12QD = EQ = DE,于是 DOE = ODE= OPQ = POQ.又 OD = OP, DOE ≌ POQ,OQ = OE = EQ, EQO = 60.又 OC = OA = OD = 槡 3QD,QCQA=槡3QO + QO槡3QO - QO= 槡 3 + 2.%A AD COQPB图 3E提炼 此解法与解法 2 有异曲同工之妙. 由三角形全等得到等边三角形,这种方法利用了全等、直解三角形斜边中线的性质、等边三角形三个基本知识点,同样不失简洁巧妙.解法 4 如图 4,连结 OD、OP,则QOD = 90.设 P = ,∵ QP = QO,OD = OP, PDO = ,DQO = 2,DQO + QDO = + 2 = 90, = 30.又 OC = OA = OD = 槡 3QD,QCQA=槡3QO + QO槡3QO - QO= 槡 3 + 2.%A AD COQPB图 4提炼 由等边对等角,结合外角与内角的关系,利用直角三角形两锐角互余,得到P = 30,再利用底角为 30 的等腰三角形三条边的比值为槡1 ∶ 1 ∶ 3,即可解问题. 此方法巧妙利用两个底角为 30 0 的等腰三角形三边的比值,运算简便,过程简洁,为最佳方法.三、提炼后的几点反思1. 处理好方法多样与方法优化的关系一道题的解题方法并非越多越好,对于中学生而言,一种方法是否有价值要看该法是不是通性通法,能不能让学生找到思路的“触发点”,一触而成,顺势而为,能不能让学生较为轻松完成运算和推导过程. 好的解法应该适合学生的思维特征和认知水平,从这个意义上讲,并非越简洁就越好. 方法的优化应该建立在学生对各种方法有比较全面、客观的认识,然后结合自身的特点选择自己最易接受与掌握的方法. 本文中的例题解法并不只有四种,很多方法涉及更为复杂的运算或证明,还有的是几种解法混合运用,而笔者提炼的四种解法,都涉及到解题中常用的基本方法、基本模式、基本数学思想,均具有一定的代表性.2. 处理好运算简洁与逻辑思维的关系解法 4 相比于另外三种解法运算大为简化,过程也更加简洁,但思考却要比另种方法更为深刻. 一个图形中没有任何数据,能根据图形的背景和线段的关系推出个具体的度数是极为不易的. 另外三种解法虽相对复杂,用到的方法和知识却是常用的,学生极为熟练,极易想到. 由此可见,运算愈简单,往往对逻 8 3 初中数学教与学 2017 年ChaoXing 基于微课教学的解题分析陈 蓉( 南师大附属中学仙林学校初中部,210000)大数据时代,亟需实施学生个性化学习和培养学生的核心素养. 在学生碰到几何难题时,如何利用现代信息手段满足不同学生的学习需求,是笔者一直在探索的,下面以一道平面几何中的运动问题为例,说明基于微课教学的解题分析的过程.一、问题分析题目 在 ABC 中,ACB = 90,AC =BC,直线 l 经过点 C,AD l,BE l,垂足分别为点 D、E. 当直线 l 绕点 C 旋转时,DE、AD、BE具有怎样的数量关系? 说出你的猜想,并证明.本题对于大部分学生来说比较棘手,难以找到思路.笔者在课余时间多次找到各个层次的学生,了解他们对几何问题难易的接收度,于是,本着让不同层次的学生思维都得到锻炼的原则,针对这一难题,设计了一节微视频习题课,作分析如下.环节1 如图1,已知ACB = 90,AC =BC,AD DE,垂足为 D,BE DE,垂足为 E,求证: ADC ≌ CEB.AEBCD图 1%设计意图 由于本题的题干里出现了三个垂直,一方面学生不会熟练运用同角的余角相等这一知识点,另一方面学生无法敏锐的找出全等的直角三角形,故本环节直接给出求证,目的明确.为证明环节 1 中的结论,根据题意已知两个条件,还缺少一个条件. 结合题中的 ACB= 90,则需思考角度之间的关系,从而联系已学知识 同角的余角相等,得到一组相等的角,然后结合分析完整的写出证明过程,其中角度相等的证明尤为重要櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷.辑思维的要求比较高,正如史宁中教授所言:“计算简单的方法往往需要付出逻辑思维的代价. ”3. 处理好基本方法与思维模块的关系我们在数学解题时,总想能不能更简单,能不能更一般,能不能更具有通性,这就需要将解题所提炼出的一些基本方法形成模块,再由一个个模块形成网络. 将一些基本方法取一些易懂、易记的名字,织成一张大网,以覆盖许多问题,从而提升解题教学的效率. 如解法 4 中的关键“触发点”是等腰三角形三边的比值,笔者在日常教学中就给这种底角为30 等腰三角形取名“1,1,槡3”,有了这种积累,学生更容易从题目中寻到解题的“触发点”.日常教学中多反思、推进、提炼,并将“基本方法模块化”,可以使解题充满乐趣,解题也会更加高效. 9 3 第 2 期 初中数学教与学ChaoXing